Question

【题目】如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若OC=6，AC=8，求sinE的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO=90°，PB是⊙O的切线；

（2）要求sinE，首先应找出直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而sinE既可放在中，也可放在中，所以利用相似三角形的性质求出EP或EO的长即可解决问题

（1）证明：如图，连接OB，

∵PO⊥AB，

∴AC=BC，则PO是线段AB的垂直平分线，

∴PA=PB，

在△PAO和△PBO中，

，

∴△PAO≌△PBO（SSS）

∴∠OBP=∠OAP，

∵PA是⊙O的切线，即PA⊥OA，

∴∠OAP=90°，

∴∠OBP=90°，即PB⊥OB，

∴PB是⊙O的切线；

（2）在Rt△ACO中，OC=6，AC=8，

∴AO=10，

如图，连接BD，则∠ABD=90°，

∴BD∥PO，则BD=2OC=12，

在Rt△ACO与Rt△PAO中，

∠APO=∠APO，

∠PAO=∠ACO=90°，

∴△ACO△PAO，

∴，即

∴PO=，PA=，

∴PB=PA=，

∵BD∥PO，

∴△EPO∽△EBD，

∴，则，

∴，

解得：EB=，

∴PE=PB+EB=，

∴．