题目内容
【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是边AC的中点，CH⊥BM于H．
（1）试求sin∠MCH的值；
（2）问△MCH与△MBC是否相似？请说明理由；
（3）连结AH，求证：∠AHM=45°．
【答案】
（1）
解：设AC=BC=2a，
∵M是边AC的中点，
∴CM=AM=a，
∴BM= 
= 
= 
a．
∵∠ACB=90°，CH⊥BM于H，
∴∠CMH+∠MCH=90°，∠CMH+∠MBC=90°，
∴∠MCH=∠MBC，
∴sin∠MCH=sin∠MBC= 
= 
= 
；
（2）
解：△MCH∽△MBC．
理由：∵CH⊥BM于H，
∴∠MHC=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠MCB=∠MHC=90°．
∵∠BMC是公共角，
∴△MCH∽△MBC；
（3）
证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAM=45°．
∵由（2）知，△MCH∽△MBC，
∴ 
= 
．
∵M是边AC的中点，
∴CM=AM，
∴ 
= 
．
∵∠AMH为公共角，
∴△AMH∽△BMA，
∴∠AHM=∠BAM=45°．
【解析】（1）设AC=BC=2a，由M是边AC的中点得出CM=AM=a，根据勾股定理求出BM的长，再由∠CMH+∠MCH=90°，∠CMH+∠MBC=90°可得出∠MCH=∠MBC，进而可得出结论；（2）根据CH⊥BM于H，∠ACB=90°可得出∠MCB=∠MHC=90°，由∠BMC是公共角即可得出结论；（3）由（2）可知，△MCH∽△MBC，故 = ，再由CM=AM可知 = ，根据∠AMH为公共角可得出△AMH∽△BMA，故可得出结论．
【考点精析】掌握相似三角形的应用是解答本题的根本，需要知道测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．
