题目内容

【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,M是边AC的中点,CH⊥BM于H.

(1)试求sin∠MCH的值;
(2)问△MCH与△MBC是否相似?请说明理由;
(3)连结AH,求证:∠AHM=45°.

【答案】
(1)

解:设AC=BC=2a,

∵M是边AC的中点,

∴CM=AM=a,

∴BM= = = a.

∵∠ACB=90°,CH⊥BM于H,

∴∠CMH+∠MCH=90°,∠CMH+∠MBC=90°,

∴∠MCH=∠MBC,

∴sin∠MCH=sin∠MBC= = =


(2)

解:△MCH∽△MBC.

理由:∵CH⊥BM于H,

∴∠MHC=90°.

∵∠ACB=90°,

∴∠MCB=∠MHC=90°.

∵∠BMC是公共角,

∴△MCH∽△MBC;


(3)

证明:∵在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,

∴∠BAM=45°.

∵由(2)知,△MCH∽△MBC,

=

∵M是边AC的中点,

∴CM=AM,

=

∵∠AMH为公共角,

∴△AMH∽△BMA,

∴∠AHM=∠BAM=45°.


【解析】(1)设AC=BC=2a,由M是边AC的中点得出CM=AM=a,根据勾股定理求出BM的长,再由∠CMH+∠MCH=90°,∠CMH+∠MBC=90°可得出∠MCH=∠MBC,进而可得出结论;(2)根据CH⊥BM于H,∠ACB=90°可得出∠MCB=∠MHC=90°,由∠BMC是公共角即可得出结论;(3)由(2)可知,△MCH∽△MBC,故 = ,再由CM=AM可知 = ,根据∠AMH为公共角可得出△AMH∽△BMA,故可得出结论.
【考点精析】掌握相似三角形的应用是解答本题的根本,需要知道测高:测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决;测距:测量不能到达两点间的举例,常构造相似三角形求解.

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