题目内容
【题目】如图,正方形的边
、
在坐标轴上,点
坐标为
,将正方形
绕点
逆时针旋转角度
,得到正方形
,
交线段
于点
,
的延长线交线段
于点
,连结
、
.
(1)求证:平分
;
(2)在正方形绕点
逆时针旋转的过程中,求线段
、
、
之间的数量关系;
(3)连结、
、
、
,在旋转的过程中,四边形
是否能在点G满足一定的条件下成为矩形?若能,试求出直线
的解析式;若不能,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) .
【解析】试题分析:(1)根据旋转和正方形的性质可以得出CD=CB,∠CDG=∠CBG=90°,根据全等三角形的判定定理(HL)即可证出Rt△CDG≌Rt△CBG,即∠ DCG=∠BCG,由此即可得出CG平分∠DCB;
(2)由(1)的Rt△CDG≌Rt△CBG,可得出BG=DG,根据直角三角形的判定定理(HL)即可证出Rt△CHO≌Rt△CHD,即OH=HD,再根据线段间的关系即可得出 ;
(3)根据(2)的结论即可找出当G点为AB的中点时,四边形AEBD为矩形,再根据正方形的性质以及点B的坐标可得出点G的坐标,设H点的坐标为 ,由此可得出
,根据勾股定理即可求得
的值,即可得出点H的坐标,结合点H、G的坐标利用待定系数法即可求得直线DE的解析式.
试题解析:(1)证明:
∵正方形绕点
旋转得到正方形
,
∴,
,
在和
中,
,
∴≌
,
∴ ,
即平分
.
(2)由(1)证得: ≌
,∴
,
在和
中,
,
∴≌
,
∴ ,
∴ .
(3)四边形可为矩形..
当点为
中点时,四边形
为矩形.如图,
,
由(2)证得: ,又
,
则,
∴四边形为矩形..
∵点B坐标为(6,6),
∴ AB=6,∴,
∴点的坐标为
..
设点的坐标为
,则
.
∵,
,
∴,
,
在中,
,
,
,由勾股定理得:
,
解得: ,
∴点的坐标为
.
设直线的解析式为:
,
又直线过点
、
,∴
,解得:
,
∴ 直线的解析式为:
.
