Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是BC的中点，OB，DE相交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求EF：FD的值．

Answer 1

（1）证明：连CD，如图，
∵∠ACB=90°，AC=4，，
∴AB===8，
∴∠ABC=30°，∠BAC=60°，
∴∠ODA=60°，
又∵AC为直径，
∴∠CDA=90°，即△CDB为直角三角形，
而E点为斜边BC的中点，
∴DE=BE=EC，
∴∠BDE=∠DBE=30°，
∴∠ODE=180°-∠BDE-∠ADO=180°-30°-60°=90°，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：连OE，如图，
∵△OAD为等边三角形，
∴AD=OA=2，
∴BD=AB-AD=8-2=6，
在Rt△OEC中，OE===4，
又∵OE为△CBA的中位线，
∴OE∥AB，
∴EF：FD=OE：BD=4：6=2：3．
分析：（1）连CD，利用勾股定理求出AB=8，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠ABC=30°，∠BAC=60°，则∠ODA=60°；而AC为直径，根据圆周角定理的推论得到△CDB为直角三角形，而E点为斜边BC的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE=EC，则∠BDE=∠DBE=30°，易得到∠ODE=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连OE，先求出BD，再利用勾股定理计算出OE；根据三角形中位线的性质得到OE∥AB，然后根据平行线分线段成比例定理得到EF：FD=OE：BD，即可得到EF：FD的值．
点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了勾股定理、圆周角定理的推论、三角形的中位线性质以及平行线分线段成比例定理．