题目内容

【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,∠BAC的平分线AD交⊙O于点D,过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)如果AD=5,AE=4,求AC长.

【答案】
(1)证明:连接OD,如图1所示:

∵AD为∠CAB的平分线,

∴∠CAD=∠BAD,

又∵OA=OD,

∴∠BAD=ODA,

∴∠CAD=∠ODA,

∴AC∥OD,

∴∠E+∠EDO=180°,

又∵AE⊥ED,即∠E=90°,

∴∠EDO=90°,

则ED为圆O的切线


(2)解:连接BD,如图2所示,过点A作AF⊥AC,

∵AB为圆O的直径,

∴∠ADB=90°,

在Rt△ABD中,cos∠DAB=

在Rt△AED中,AE=4,AD=5,

∴cos∠EAD= = ,又∠EAD=∠DAB,

∴cos∠DAB=cos∠EAD= =

则AB= AD= ,即圆的直径为

∴AO=

∵∠E=∠EDO=∠EFO=90°,

∴四边形EFOD是矩形,

∴OF=DE=3,

∴AF= =

∴AC=2AF=


【解析】(1)连接OD,由AD为角平分线,得到一对角相等,再由OA=OD,得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行可得AE与OD平行,由两直线平行同旁内角互补,得到∠E与∠EDO互补,再由∠E为直角,可得∠EDO为直角,即DE为圆O的切线,得证;(2)连接BD,过点A作AF⊥AC,由AB为圆O的直径,根据直径所对的圆周角为直角,得到∠ADB为直角,在直角三角形ABD中,利用锐角三角函数定义得到cos∠DAB的值,又在直角三角形AED中,由AE及AD的长,利用锐角三角函数定义求出cos∠EAD的值,由∠EAD=∠DAB,得到cos∠EAD=cos∠DAB,得出cos∠DAB的值,即可求出直径AB的长,由勾股定理和垂径定理即可求出AC长.

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