Question

存在正整数a，能使得关于x的一元二次方程ax²+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一个整数根，则a=

 

．

Answer 1

考点：根的判别式,一元二次方程的定义

专题：计算题

分析：根据一元二次方程的定义得到a≠0，计算判别式得到△=4（8a+1），由于x的一元二次方程ax²+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一个整数根，则8a+1为完全平方数，而a为正整数，所以a=1、3、6、10，否则x=

-2(2a-1)±2 8a+1

2a

=-2+

1

a

±

8a+1

a

没有整数．

解答：解：根据题意得a≠0，△=4（2a-1）²-4a•4（a-3）
=4（8a+1），
x=

-2(2a-1)±2 8a+1

2a

=-2+

1

a

±

8a+1

a

，
8a+1为完全平方数，而a为正整数，
当8a+1=9、25、49、81时，即a=1、3、6、10，关于x的一元二次方程ax²+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一个整数根．
故答案为1，3，6，10．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．