Question

小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？
（成本＝进价×销售量）

Answer 1

（1）；（2）当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元；（3）3600.

试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；
（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；
（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．
试题解析：（1）由题意，得：
.
（2）函数的图象的对称轴是直线，
又∵a=-10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，w随着x的增大而增大。
∴当x=32时，w=2160.
答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．
（3）取w=2000得，，解这个方程得：x₁=30，x₂=40。
∵a=-10＜0，抛物线开口向下．
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵20≤x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．
设每月的成本为P（元），由题意，得，
∵k=-200＜0，∴P随x的增大而减小．
∴当x=32时，P的值最小，P最小值=3600．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．