Question

已知：二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（1，0）、B（5，0），抛物线的顶点为P，且PB=2

5

．求：
（1）二次函数的解析式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）根据图象回答：当x取什么值时，y的值不小于0．

Answer 1

分析：（1）设二次函数的解析式为y=a（x-1）（x-5），即y=ax²-6ax+5a，根据二次函数的对称轴公式可知对称轴为x=3，所以OC=3，BC=2，由BP=2

5

可知PC=4，即P（3，-4），利用待定系数法可求得a=

19

9

，所以二次函数的解析式为y=

19

9

x2-

144

9

+

95

9

；
（2）利用列表，描点，连线的方法画图即可；
（3）在图象上当图象在x轴上方时y的值不小于0，所以x≤1或x≥5时，y≥0．

解答：解：（1）由题意，设二次函数的解析式为y=a（x-1）（x-5），
即y=ax²-6ax+5a．
对称轴为x=3，设对称轴与x轴的交点为C（3，0）．
∴OC=3．
∵OB=5，
∴BC=2．
∵P是顶点，BP=2

5

，
∴PC=4，P（3，-4）．
∴a×3²-6a×3+5×3=-4，
∴a=1．
∴二次函数的解析式为y=x²-6x+5．

（2）如图：


（3）当x≤1或x≥5时，y≥0．

点评：本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式，画二次函数图象以及图象性质的运用等．要熟练掌握才能灵活运用．