题目内容
【题目】如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD=
；③DF=DC；④CF=2AF，正确的是（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
【答案】C
【解析】解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴ 
，∵AE=
AD=
BC，∴
=
，∴CF=2AF，故④正确；
∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=
BC，∴BM=CM，∴CN=NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF=DC，故③正确；
设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有
，即b=
a，∴tan∠CAD=
=
=
．故②不正确；
正确的有①③④，故选C．
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