Question

如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，BE⊥EF，DF=8，sin∠ABE=

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（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求EF的长．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD是矩形，即可得∠A=∠D=90°，又由BE⊥EF，利用同角的余角相等，可求得∠ABE=∠DEF，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ABE∽△DEF；
（2）由∠ABE=∠DEF，DF=8，sin∠ABE=

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5

，在Rt△DEF中，由EF=

DF

sin∠DEF

，即可求得答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵BE⊥EF，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠ABE=∠DEF，
∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵∠DEF=∠ABE，sin∠ABE=

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，
∴sin∠DEF=

4

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，
∵DF=8，
∴在Rt△DEF中，EF=

DF

sin∠DEF

=10．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．