Question

如图，矩形ABCD中，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，
点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F。
求证：四边形ABCD是正方形；
当AE=2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论。

Answer 1

（1）证明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，
∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE。
∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，∴∠CBE=∠ABE。
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD。
∴∠CBE=∠ABE=45°。∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形。
∴AB=AD=BC=CD，∴四边形ABCD是正方形。
（2）解：当AE=2EF时，FG=3EF。证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE。
∵AE=2EF，∴BE：DE=AE：EF=2。∴BC：AD=BE：DE=2，即BG=2AD。
∵BC=AD，∴CG=AD。
∵△ADF∽△GCF，∴FG：AF=CG：AD，即FG=AF=AE+EF=3EF。

矩形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，利用三角形外角的性质，即可得∠CBE=∠ABE，又由四边形ABCD是矩形，即可证得△ABD与△BCD是等腰直角三角形，继而证得四边形ABCD是正方形。
（2）由题意易证得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，由AE=2EF，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得FG=3EF。