Question

如图所示，已知四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，可以推出△ABP与△ECP相似的有_______。
①∠APB=∠EPC；②∠APE的平分线垂直于BC；③P是BC的中点；④BP：BC=2：3．

Answer 1

①②④

解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，
当∠APB=∠EPC时，又∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△ECP；
当∠APE的平分线垂直于BC，如图所示：
∵QP⊥BC，
∴∠QPB=∠QPC=90°，
又∵PQ为∠APE的平分线，
∴∠APQ=∠EPQ，
∴∠QPB-∠APQ=∠QPC-∠EPQ，即∠APB=∠EPC，
同理可得出△ABP∽△ECP；
当P为BC中点时，BP=CP= BC，
又∵E为CD的中点，
∴DE=CE=CD，
∴PC=EC，
又∵∠C=90°，
∴△PEC为等腰直角三角形，
而AB=2BP，△ABP不为等腰直角三角形，
则P是BC的中点时，两三角形不相似；
当BP：BC=2：3时，设BP=2k，则BC=3k，
∴CP=BC-BP=3k-2k=k，
又∵E为CD的中点，
∴CE=DE= CD=BC= k，
∴，，
∴，且∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△ECP，
综上，可以得到△ABP∽△ECP的选项为①②④．
故答案为：①②④