题目内容
阅读下列材料：
如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M、N分别在边AB、BC上，且MN∥AD，记AD=a，BC=b，若
，则有结论：
。
请根据以上结论，解答下列问题：
如图2，3，BE、CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP1、PP2、PP3，交BC于点P1，交AB于点P2，交AC于点P3。
（1）若点P为线段EF的中点，求证：PP1=PP2＋PP3；
（2）若点P在线段EF上任意位置时，试探究PP1、PP2、PP3的数量关系，给出证明。
如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M、N分别在边AB、BC上，且MN∥AD，记AD=a，BC=b，若
，则有结论：。请根据以上结论，解答下列问题：
如图2，3，BE、CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP1、PP2、PP3，交BC于点P1，交AB于点P2，交AC于点P3。
（1）若点P为线段EF的中点，求证：PP1=PP2＋PP3；
（2）若点P在线段EF上任意位置时，试探究PP1、PP2、PP3的数量关系，给出证明。
解：（1）证明：如图，过点E作ED1⊥BC于D1，ED2⊥AB于D2，
∵BE是∠ABC的角平分线，∴ED1= ED2。
∵点P为线段EF的中点，且PP2⊥AB，
∴PP2∥ED2。∴
。∴
，即
。
同理，过点F作FG1⊥BC于G1，FG2⊥AC于G2，得
。
在梯形EFG1D1中，∵公式中，m=n，
∴
（梯形中位线定理）。
∴
。
（2）
。证明如下：
如图，过点E作ED1⊥BC于D1，ED2⊥AB于D2，过点F作FG1⊥BC于G1，FG2⊥AC于G2，
设
，则梯形EFG1D1满足公式，
∴
。
公式中，当b=0时，原梯形变为三角形，
∴
。
∴
。
∴
，
。
将②③代入①，得
。
∵BE是∠ABC的角平分线，∴ED1= ED2。
∵点P为线段EF的中点，且PP2⊥AB，
∴PP2∥ED2。∴
。∴，即。同理，过点F作FG1⊥BC于G1，FG2⊥AC于G2，得
。在梯形EFG1D1中，∵公式
中，m=n，∴
（梯形中位线定理）。∴
。（2）
。证明如下：如图，过点E作ED1⊥BC于D1，ED2⊥AB于D2，过点F作FG1⊥BC于G1，FG2⊥AC于G2，
设
，则梯形EFG1D1满足公式，∴
。公式
中，当b=0时，原梯形变为三角形，∴
。∴
。∴
，。将②③代入①，得
。（1）过点E作ED1⊥BC于D1，ED2⊥AB于D2，过点F作FG1⊥BC于G1，FG2⊥AC于G2，由角平分线上的点到角的两边距离相等，可得ED1= ED2，FG1= FG2。在△FED2和△FEG2中应用三角形中位线定理，可得，。在梯形EFG1D1中，由公式可证得结论。
（2）同（1）过点E作ED1⊥BC于D1，ED2⊥AB于D2，过点F作FG1⊥BC于G1，FG2⊥AC于G2，由角平分线上的点到角的两边距离相等，可得ED1= ED2，FG1= FG2。在△FED2、△FEG2和梯形EFG1D1中，由公式可求得结论。
，。在梯形EFG1D1中，由公式可证得结论。（2）同（1）过点E作ED1⊥BC于D1，ED2⊥AB于D2，过点F作FG1⊥BC于G1，FG2⊥AC于G2，由角平分线上的点到角的两边距离相等，可得ED1= ED2，FG1= FG2。在△FED2、△FEG2和梯形EFG1D1中，由公式可求得结论。
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