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精英家教网如图,在平面直角坐标系中,直线l的解析式为y=
3
3
x
,关于x的一元二次方程2x2-2(m+2)x+(2m+5)=0(m>0)有两个相等的实数根.
(1)试求出m的值,并求出经过点A(0,-m)和D(m,0)的直线解析式;
(2)在线段AD上顺次取两点B、C,使AB=CD=
3
-1,试判断△OBC的形状;
(3)设直线l与直线AD交于点P,图中是否存在与△OAB相似的三角形?如果存在,请直接写出;如果不存在,请说明理由.
分析:(1)依题意得△=0得出m值,然后可求出点A,D的坐标,设直线AD的解析式为y=kx+b,把已知坐标代入可求得解析式;
(2)作OE⊥AD于E,利用勾股定理求出AD,继而求出OE的长.然后根据三角函数证明△OBC为等边三角形;
(3)利用相似三角形的判定可知道存在与△OAB相似的三角形.
解答:解:(1)由题意得△=[-2(m+2)]2-4×2×(2m+5)=0,
∴m=±
6

∵m>0,
∴m=
6

∴点A(0,-
6
)、D(
6
,0),
设经过A、D两点的直线解析式为y=kx+b,
b=-
6
0=
6
k+b

解得
k=1
b=-
6

∴y=x-
6

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(2)作OE⊥AD于E,
由(1)得OA=OD=
6

∴AD=
OA2+OD2
=2
3

∴OE=AE=ED=
1
2
AD=
3

∵AB=CD=
3
-1,
∴BE=EC=1,
∴OB=OC,
在Rt△OBE中,tan∠OBE=
OE
BE
=
3

∴∠OBC=60°,
∴△OBC为等边三角形;

(3)存在,△ODC、△OPC、△PAO.
点评:本题考查的是相似三角形的判定定理,一次函数的综合运用,等边三角形的性质以及三角函数的有关知识.
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