题目内容
（2013•青羊区一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），与y轴的正半轴交于点C（0，3）．已知该抛物线的顶点横坐标为1，A、B两点间的距离为4．（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求△ABC外接圆的圆心M的纵坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BM分成面积比为1：2两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），所以A和B关于抛物线的对称轴对称，于是
=1①；又因为A、B两点间的距离为4，且x1＜x2，所以x2-x1=4②，将①②组成方程组，解出x1，x2的值，再将点A、B、C的坐标代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据三角形外心的定义可知MA=MB=MC，由MA=MB及A、B两点的坐标，得出圆心M的横坐标为1，设M（1，y），根据MA=MC列出方程，即可求出M的纵坐标；
（3）设PD与BM的交点为E，分成两种情况考虑：①当△BPE的面积是△BDE的2倍时，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，即DE=
PD，可设出P点的坐标，那么E点的纵坐标是P点纵坐标的
，BD的长为B、P横坐标差的绝对值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作为等量关系求出P点的坐标；②当△BDE的面积是△BPE的2倍时，方法同①．
| x1+x2 |
| 2 |
（2）根据三角形外心的定义可知MA=MB=MC，由MA=MB及A、B两点的坐标，得出圆心M的横坐标为1，设M（1，y），根据MA=MC列出方程，即可求出M的纵坐标；
（3）设PD与BM的交点为E，分成两种情况考虑：①当△BPE的面积是△BDE的2倍时，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，即DE=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），且抛物线顶点的横坐标为1，
∴
=1，即x1+x2=2①；
又∵A、B两点间的距离为4，且x1＜x2，
∴x2-x1=4②，
①与②组成方程组
，
解得
，
∴A（-1，0），B（3，0）．
把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c，
得
，
解得
，
∴函数解析式为y=-x2+2x+3；
（2）∵△ABC外接圆的圆心是M，
∴MA=MB=MC，M点在线段AB的垂直平分线上，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴M的横坐标为：
=1．
设M（1，y），由MA=MC，
得（1+1）2+y2=12+（y-3）2，
解得y=1．
故△ABC外接圆的圆心M的纵坐标为1；
（3）在抛物线上存在一点P，能够使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BM分成面积比为1：2的两部分．理由如下：
设PD与BM的交点为E，可求直线BM解析式为y=-
x+
，
设P（x，-x2+2x+3），分两种情况：
①当S△BED：S△BEP=1：2时，PD=3DE，如图．
则-x2+2x+3=3（-
x+
），
整理，得2x2-7x+3=0，
解得x=
或3，
∴
或
（舍去），
∴P（
，
）；
②当S△PBE：S△BED=1：2时，2PD=3DE，如图．
则2（-x2+2x+3）=3（-
x+
），
整理，得4x2-11x-3=0，
解得x=-
或3，
∴
或
（舍去），
∴P（-
，
）．
故在抛物线上存在点P（
，
）或P（-
，
），使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BM分成面积比为1：2的两部分．
∴
| x1+x2 |
| 2 |
又∵A、B两点间的距离为4，且x1＜x2，
∴x2-x1=4②，
①与②组成方程组
|
解得
|
∴A（-1，0），B（3，0）．
把A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c，
得
|
解得
|
∴函数解析式为y=-x2+2x+3；
（2）∵△ABC外接圆的圆心是M，
∴MA=MB=MC，M点在线段AB的垂直平分线上，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴M的横坐标为：
| -1+3 |
| 2 |
设M（1，y），由MA=MC，
得（1+1）2+y2=12+（y-3）2，
解得y=1．
故△ABC外接圆的圆心M的纵坐标为1；
（3）在抛物线上存在一点P，能够使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BM分成面积比为1：2的两部分．理由如下：设PD与BM的交点为E，可求直线BM解析式为y=-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
设P（x，-x2+2x+3），分两种情况：
①当S△BED：S△BEP=1：2时，PD=3DE，如图．
则-x2+2x+3=3（-
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| 2 |
| 3 |
| 2 |
整理，得2x2-7x+3=0，
解得x=
| 1 |
| 2 |
∴
|
|
∴P（
| 1 |
| 2 |
| 15 |
| 4 |
②当S△PBE：S△BED=1：2时，2PD=3DE，如图．则2（-x2+2x+3）=3（-
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
整理，得4x2-11x-3=0，
解得x=-
| 1 |
| 4 |
∴
|
|
∴P（-
| 1 |
| 4 |
| 39 |
| 16 |
故在抛物线上存在点P（
| 1 |
| 2 |
| 15 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 39 |
| 16 |
点评：此题是二次函数的综合类题目，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的外心，两点间的距离公式以及图形面积的求法等知识，综合性强，难度稍大，（3）中进行分类讨论是解题的关键．
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