题目内容

【题目】如图,在平行四边形ABCD中,平分,交于点平分,交于点交于点,连接.

(1)求证:四边形是菱形;

(2)若,求的值.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】(1)先根据平行四边形性质以及角平分线性质,可得:AF//BE,∠AEB=∠BAE,∠AFB=∠ABF.根据等腰三角形性质可得:AB=BEAF=AB.根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得四边形ABEF是平行四边形,再根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”证得平行四边形ABEF是菱形.

(2)作PHADH.根据角的正切值的定义得tan∠ADP= .根据菱形的性质,利用特殊角的三角函数,求得AHPH长度,再根据HD=ADAH,即可得出tan∠ADP的值.

证明:(1)AE平分∠BAD BF平分∠ABC

∴∠BAE=EAF ABF=EBF

AD//BC

∴∠EAF=AEB AFB=EBF

∴∠BAE=AEB AFB=ABF

AB=BE AB=AF

AF=AB=BE

AD//BC

ABEF为平行四边形

AB=BE

ABEF为菱形

2)如图所示,作PHADH.

∵四边形ABEF是菱形,且∠ABC=60°

ABE为等边三角形,

∴∠FAE=60°AE=AB=4

AP=AE=2

RtAPH中,由三角函数得:

PH=APsin60°=3

AH=APcos60°=1

HD=ADAH=5,

因此tanADP= =

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