Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°以AB为直径的⊙O交AB于点D，点E为BC的中点，连接DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，DE=3，求AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD、BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=∠CDB=90°；

又∵点E为BC的中点，

∴BE=DE，

∴∠BDE=∠EBD；

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA；

又∵∠OAD+∠OBD=90°，∠EBD+∠OBD=90°，

∴∠OAD=∠EBD，即∠ODA=∠BDE；

∴∠ODE=∠BDE+∠ODB=∠ODA+∠ODB=90°，

又∵点D在⊙O上，

∴DE是圆⊙O的切线．

（2）解：由（1）知BC=2DE=6，

又∵∠CBD=∠BAC=30°，

∴CD=3，BD=3

∴AB=6 ；

由勾股定理得：AD=9.

【解析】（1）连接OD、BD，由圆周角定理得∠ADB=∠CDB=90°；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，依此得BE=DE，再由等腰三角形的性质得 ∠BDE=∠EBD；∠OAD=∠ODA； 根据同角的余角相等和等量代换得∠ODA=∠BDE；由此得出∠ODE=90°，即DE是圆⊙O的切线．

（2）由（1）知BC=2DE=6，在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，即CD=3，根据勾股定理得BD=3 ，再由在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，得AB=6 ，由勾股定理得：AD=9.