Question

【题目】在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解决办法进行了认真思考：

课本研究三角形中位线性质的方法 已知：如图①，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点．求证：DE∥BC，DE= BC． 证明：延长DE至点F，使EF=DE，连接FC．…则△ADE≌△CFE．∴…

请你利用小亮的发现解决下列问题：
（1）如图③，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．
请你帮助小亮写出辅助线作法并完成论证过程：
（2）解决问题：如图⑤，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线．过点D，E作DF∥EG，分别交BC于点F，G，过点A作MN∥BC，分别与FD，GE的延长线交于点M，N，则四边形MFGN周长的最小值是 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，

在△BDF和△CDM中，BD=CD，∠BDF=∠CDM，DF=DM．

∴△BDF≌△CDM（SAS）．

∴MC=BF，∠M=∠BFM．

∵EA=EF，

∴∠EAF=∠EFA．

∵∠AFE=∠BFM，

∴∠M=∠MAC．

∴AC=MC．

∴BF=AC．

（2）8+10
【解析】（2）如图2，

在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，

∵DE是△ABC的中位线．

∴DE= BC=4，DE∥BC

∵DF∥EG，MN∥BC，

∴四边形DEGF，DENM，FGNM是平行四边形，

∴MN=FG=DE=4，

∴要四边形MFGN周长的最小只有MF=NG最小，

即：MF⊥BC，

∴平行四边形FGNM是矩形，

过点A作AP⊥BC于P，

∴AP=MF=NG，

在Rt△ABP中，∠B=45°，AB=10，

∴AP=5 ，

∴MF=NG=5 ，

即四边形MFGN周长的最小值是8+10 ．

所以答案是：8+10 ．

【考点精析】利用三角形中位线定理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．