题目内容

【题目】如图1,正方形ABCD的边ADy轴上,抛物线y=ax﹣22﹣1经过点AB,与x相交于点EF,且其顶点MCD上.

1)请直接写出点A的坐标 ,并写出a的值

2)若点P是抛物线上一动点(点P不与点A、点B重合),过点Py轴的平行线l与直线AB交于点G,与直线BD交于点H,如图2

当线段PH=2GH时,求点P的坐标;

当点P在直线BD下方时,点K在直线BD上,且满足KPH∽△AEF,求KPH周长的最大值.

【答案】103);22P的坐标为(30)或(﹣18).

【解析】

试题分析:1)根据抛物线的对称性、抛物线的顶点坐标以及正方形四边都相等的性质解答;

2根据待定系数法可得直线BD的解析式,设点P的坐标为(xx2﹣4x+3),则点Hxx﹣1),点Gx3).分三种情况:i)当x≥1x≠4时;ii)当0x1时;iii)当x0时;三种情况讨论可得点P的坐标;

根据相似三角形的性质可得SKPH=PH2=﹣x2+5x﹣42,再根据二次函数的增减性可得KPH面积的最大值.

解:(1)如图1抛物线的解析式为y=ax﹣22﹣1,顶点是M

M2﹣1).

四边形ABCD是正方形,

OD=1DC=BC=AB=AD=4

A03).

A03)代入y=ax﹣22﹣1,得

3=a0﹣22﹣1

解得a=2

故答案是:(03);2

2设直线BD的解析式为y=kx+bk≠0),由于直线BD经过D0﹣1),B43),

解得

故直线BD的解析式为y=x﹣1

设点P的坐标为(xx2﹣4x+3),则点Hxx﹣1),点Gx3).

i)当x≥1x≠4时,点GPH的延长线上,如图2

PH=2GH

x﹣1x2﹣4x+3=2[3﹣x﹣1]

x2﹣7x+12=0

解得x1=3x2=4

x2=4时,点PHG重合于点B,舍去.

x=3

此时点P的坐标为(30).

ii)当0x1时,点GPH的反向延长线上,如图3PH=2GH不成立.

iii)当x0时,点G在线段PH上,如图4

PH=2GH

x2﹣4x+3x﹣1=2[3﹣x﹣1]

x2﹣3x﹣4=0,解得x1=﹣1x2=4(舍去),

x=﹣1.此时点P的坐标为(﹣18).

综上所述可知,点P的坐标为(30)或(﹣18).

如图5,令x2﹣4x+3=0,得x1=1x2=3

E10),F30),

EF=2

SAEF=EFOA=3

∵△KPH∽△AEF

=2

SKPH=PH2=﹣x2+5x﹣42

1x4

x=时,SKPH的最大值为

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