题目内容
【题目】如图1,正方形ABCD的边AD在y轴上,抛物线y=a(x﹣2)2﹣1经过点A、B,与x相交于点E、F,且其顶点M在CD上.
(1)请直接写出点A的坐标 ,并写出a的值 ;
(2)若点P是抛物线上一动点(点P不与点A、点B重合),过点P作y轴的平行线l与直线AB交于点G,与直线BD交于点H,如图2.
①当线段PH=2GH时,求点P的坐标;
②当点P在直线BD下方时,点K在直线BD上,且满足△KPH∽△AEF,求△KPH周长的最大值.
【答案】(1)(0,3);2;(2)①点P的坐标为(3,0)或(﹣1,8).②.
【解析】
试题分析:(1)根据抛物线的对称性、抛物线的顶点坐标以及正方形四边都相等的性质解答;
(2)①根据待定系数法可得直线BD的解析式,设点P的坐标为(x,x2﹣4x+3),则点H(x,x﹣1),点G(x,3).分三种情况:i)当x≥1且x≠4时;ii)当0<x<1时;iii)当x<0时;三种情况讨论可得点P的坐标;
②根据相似三角形的性质可得S△KPH=PH2=(﹣x2+5x﹣4)2,再根据二次函数的增减性可得△KPH面积的最大值.
解:(1)如图1,∵抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2﹣1,顶点是M,
∴M(2,﹣1).
又∵四边形ABCD是正方形,
∴OD=1,DC=BC=AB=AD=4,
∴A(0,3).
把A(0,3)代入y=a(x﹣2)2﹣1,得
3=a(0﹣2)2﹣1,
解得a=2.
故答案是:(0,3);2;
(2)①设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0),由于直线BD经过D(0,﹣1),B(4,3),
则,
解得,
故直线BD的解析式为y=x﹣1.
设点P的坐标为(x,x2﹣4x+3),则点H(x,x﹣1),点G(x,3).
i)当x≥1且x≠4时,点G在PH的延长线上,如图2.
∵PH=2GH,
∴(x﹣1)﹣(x2﹣4x+3)=2[3﹣(x﹣1)],
∴x2﹣7x+12=0,
解得x1=3,x2=4.
当x2=4时,点P,H,G重合于点B,舍去.
∴x=3.
∴此时点P的坐标为(3,0).
ii)当0<x<1时,点G在PH的反向延长线上,如图3,PH=2GH不成立.
iii)当x<0时,点G在线段PH上,如图4.
∵PH=2GH,
∴(x2﹣4x+3)﹣(x﹣1)=2[3﹣(x﹣1)],
∴x2﹣3x﹣4=0,解得x1=﹣1,x2=4(舍去),
∴x=﹣1.此时点P的坐标为(﹣1,8).
综上所述可知,点P的坐标为(3,0)或(﹣1,8).
②如图5,令x2﹣4x+3=0,得x1=1,x2=3,
∴E(1,0),F(3,0),
∴EF=2.
∴S△AEF=EFOA=3.
∵△KPH∽△AEF,
∴=()2,
∴S△KPH=PH2=(﹣x2+5x﹣4)2.
∵1<x<4,
∴当x=时,S△KPH的最大值为.