题目内容

【题目】数学课上,李老师出示了如下框中的题目.

在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图.试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由.

小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:

(1)特殊情况,探索结论

当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与的DB大小关系.请你直接写出结论:

AE DB(填“>”,“<”或“=”).

图1 2

(2)特例启发,解答题目

解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE DB(填“>”,“<”或“=”).

理由如下:如图2,过点E作EFBC,交AC于点F.

(请你完成以下解答过程)

(3)拓展结论,设计新题

在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).

【答案】(1)=;(2)=,过程见解析;(3)CD的长是1或3.

【解析】试题分析:(1)根据△ABC是等边三角形,点E为AB的中点,即可得出CE⊥AB,进而得出∠ECB=∠D=∠DEB=30°,即可得出线段AE与DB的大小关系;

(2)首先得出BE=CF,进而得出∠EDB=∠ECB,∠BED=∠FCE,进而利用△DBE≌△EFC即可得出答案;

(3)分两种情况进行讨论,①当E在线段BA的延长线上,D在线段BC的延长线上;②当E在线段AB的延长线上,D在线段CB的延长线上.

试题解析:(1)∵△ABC是等边三角形,点E为AB的中点,

∴∠ABC=60°,CE⊥AB,

∴AE=BE,

∴∠ECB=∠D=∠DEB=30°,

∴AE=DB,

故答案为:=;

(2) 在等边ABC中,

∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°AB=BC=AC

∵EF∥BC

∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC

∴AE=AF=EF

∴AB-AE=AC-AF

即BE=CF,

∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°

∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°

∵ED=EC

∴∠EDB=∠ECB

∵∠EBC=∠EDB+∠BED∠ACB=∠ECB+∠FCE

∴∠BED=∠FCE

∴△DBE≌△EFC(SAS)

∴DB=EF

∴AE=BD,

故答案为:=;

(3)CD的长是1或3.

参考做法如下:

当E在线段BA的延长线上,D在线段BC的延长线上时,如图1所示,

过E作EFBD,垂足为F点,可得∠EFB=90°

EC=EDF为CD的中点,即CF=DF=CD

∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=60°

∴∠BEF=30°

∵BE=AB+AE=1+2=3

FB=EB=

CF=FB-BC=

则CD=2CF=1;

当E在线段AB的延长线上,D在线段CB的延长线上时,如图2所示,

过E作EFBD,垂足为F点,可得∠EFC=90°

EC=EDF为CD的中点,即CF=DF=CD

∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠EBF=60°

∴∠BEF=30°

∵BE=AE-AB=2-1=1

FB=BE=

CF=BC+FB=

则CD=2CF=3,

综上,CD的值为1或3.

图1 图2

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