题目内容
【题目】在
中，
，
，点
是直线
上一动点，点
是直线
上动点，点
是直线
上一动点，且
，
．
（1）如图1，当点，，分别在，，边上时，请你判断线段
，
，
之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论；
（2）如图2，当在延长线上，在
延长线上，在
延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请判断线段，，之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（3）若
，当
时，请直接写出
的长．
【答案】（1）
；（2）结论不成立；
，证明见解析；（3）
或
．
【解析】
（1）如图（见解析），先根据角的和差得出
，再根据三角形全等的判定定理与性质可得
，从而可得
，然后根据等腰三角形的判定与性质可得
，最后根据等量代换即可得；
（2）如图（见解析），先根据角的和差可得
，再根据三角形全等的判定定理与性质可得
，
，然后根据等腰三角形的性质可得
，最后根据线段的和差、等量代换即可得；
（3）分点F在线段AB上和点F在BA的延长线上两种情况，先根据线段的和差可得
，再结合（1）和（2）的方法和结论可得
，
，
之间的数量关系等式，然后分别联立求解即可得．
（1），证明如下：
如图，过点D作
于点G
，
在
和
中，
，
是等腰直角三角形，且
即；
（2）（1）中的结论不成立，，证明如下：
如图，过点
作
的垂线，交延长线于点
，则
∵
，
∴
，
∴
，
∵
∴
∴
在和
中，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
即；
（3）
，
因此，分以下两种情况：
①如图3-1，点F在线段AB上
由（1）可知，，即
联立
，解得
②如图3-2，点F在BA的延长线上
过点D作
于点N
同（1）和（2）可证：
又
联立
，解得
综上，或．
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