Question

22、已知α、β是方程x²+x-1=0的两个实根，则α⁴-3β=

5

．

Answer 1

分析：由方程的根的定义，可知α²+α-1=0，移项，得α²=1-α，两边平方，整理得α⁴=2-3α①；由一元二次方程根与系数的关系，可知α+β=-1②；将①②两式分别代入α⁴-3β，即可求出其值．

解答：解：∵α是方程x²+x-1=0的根，
∴α²+α-1=0，
∴α²=1-α，
∴α⁴=1-2α+α²=1-2α+（1-α）=2-3α．
又∵α、β是方程x²+x-1=0的两个实根，
∴α+β=-1．
∴α⁴-3β=2-3α-3β=2-3（α+β）=2-3×（-1）=5．
故答案为5．

点评：本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系．难度中等．关键是利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解．