Question

如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）.

（1）求∠BAC的度数；
（2）求△ABC面积的最大值.
（参考数据： ，，.）

Answer 1

（1）（2）

解：(1)解法一
连接OB，OC，过O作OE⊥BC于点E.
         
∵OE⊥BC，BC=，
∴.  ………………1分
在Rt△OBE中，OB=2，∵，
∴, ∴，
∴.      ………………4分
解法二
连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD.

∵BD是直径，∴BD=4，.
在Rt△DBC中，,
∴，∴.………………4分
(2) 解法一
因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处.      ………………5分
过O作OE⊥BC于E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点.连接AB，AC，则AB=AC，.
      在Rt△ABE中，∵，
∴，
∴S_△ABC=.
答：△ABC面积的最大值是.         ………………7分
解法二
因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处.   ………………5分
过O作OE⊥BC于E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点.连接AB，AC，则AB=AC.
∵,   ∴△ABC是等边三角形.       
在Rt△ABE中，∵，
∴，
∴S_△ABC=.               
答：△ABC面积的最大值是.      ………………7分
(1) 连接OB，OC，过O作OE⊥BC于点E.利用三角函数求得，再利用圆周角的定理求得∠BAC的度数
（2）因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A落在优弧BC的中点处，过O作OE⊥BC于E，延长EO交⊙O于点A，则A为优弧BC的中点.连接AB，AC，则AB=AC，
利用三角函数求得AE的长，从而求得△ABC面积的最大值