题目内容
如图,已知⊙O的半径为2,弦BC的长为
,点A为弦BC所对优弧上任意一点(B,C两点除外).

(1)求∠BAC的度数;
(2)求△ABC面积的最大值.
(参考数据:
,
,
.)


(1)求∠BAC的度数;
(2)求△ABC面积的最大值.
(参考数据:



(1)
(2)


解:(1)解法一
连接OB,OC,过O作OE⊥BC于点E.
∵OE⊥BC,BC=
,
∴
. ………………1分
在Rt△OBE中,OB=2,∵
,
∴
, ∴
,
∴
. ………………4分
解法二
连接BO并延长,交⊙O于点D,连接CD.

∵BD是直径,∴BD=4,
.
在Rt△DBC中,
,
∴
,∴
.………………4分
(2) 解法一
因为△ABC的边BC的长不变,所以当BC边上的高最大时,△ABC的面积最大,此时点A落在优弧BC的中点处. ………………5分
过O作OE⊥BC于E,延长EO交⊙O于点A,则A为优弧BC的中点.连接AB,AC,则AB=AC,
.
在Rt△ABE中,∵
,
∴
,
∴S△ABC=
.
答:△ABC面积的最大值是
. ………………7分
解法二
因为△ABC的边BC的长不变,所以当BC边上的高最大时,△ABC的面积最大,此时点A落在优弧BC的中点处. ………………5分
过O作OE⊥BC于E,延长EO交⊙O于点A,则A为优弧BC的中点.连接AB,AC,则AB=AC.
∵
, ∴△ABC是等边三角形.
在Rt△ABE中,∵
,
∴
,
∴S△ABC=
.
答:△ABC面积的最大值是
. ………………7分
(1) 连接OB,OC,过O作OE⊥BC于点E.利用三角函数求得
,再利用圆周角的定理求得∠BAC的度数
(2)因为△ABC的边BC的长不变,所以当BC边上的高最大时,△ABC的面积最大,此时点A落在优弧BC的中点处,过O作OE⊥BC于E,延长EO交⊙O于点A,则A为优弧BC的中点.连接AB,AC,则AB=AC,
利用三角函数求得AE的长,从而求得△ABC面积的最大值
连接OB,OC,过O作OE⊥BC于点E.

∵OE⊥BC,BC=

∴

在Rt△OBE中,OB=2,∵

∴


∴

解法二
连接BO并延长,交⊙O于点D,连接CD.

∵BD是直径,∴BD=4,

在Rt△DBC中,

∴


(2) 解法一
因为△ABC的边BC的长不变,所以当BC边上的高最大时,△ABC的面积最大,此时点A落在优弧BC的中点处. ………………5分
过O作OE⊥BC于E,延长EO交⊙O于点A,则A为优弧BC的中点.连接AB,AC,则AB=AC,



∴

∴S△ABC=

答:△ABC面积的最大值是

解法二
因为△ABC的边BC的长不变,所以当BC边上的高最大时,△ABC的面积最大,此时点A落在优弧BC的中点处. ………………5分
过O作OE⊥BC于E,延长EO交⊙O于点A,则A为优弧BC的中点.连接AB,AC,则AB=AC.
∵

在Rt△ABE中,∵

∴

∴S△ABC=

答:△ABC面积的最大值是

(1) 连接OB,OC,过O作OE⊥BC于点E.利用三角函数求得

(2)因为△ABC的边BC的长不变,所以当BC边上的高最大时,△ABC的面积最大,此时点A落在优弧BC的中点处,过O作OE⊥BC于E,延长EO交⊙O于点A,则A为优弧BC的中点.连接AB,AC,则AB=AC,
利用三角函数求得AE的长,从而求得△ABC面积的最大值

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