题目内容
如图，M是△ABC的BC边上的一点，AM的延长线交△ABC的外接圆于D，已知：AM=9cm，BD=CD=6cm，（1）求证：BD2=AD•DM；
（2）求AD之长．
分析：（1）将所求的乘积式化为比例式，然后证线段所在的三角形全等即可，即证△BDM∽△ADB．
（2）用AD表示出DM，然后将BD的值代入（1）题的结论中，即可求得AD的长．
（2）用AD表示出DM，然后将BD的值代入（1）题的结论中，即可求得AD的长．
解答：（1）证明：∵BD=DC，
∴∠BAD=∠DAC；（1分）
又∵∠DBC=∠DAC，
∴∠DBC=∠BAD，（2分）
又∵∠BDA=∠MDB，（3分）
∴△ABD∽△BMD，
∴
=
∴BD2=AD•DM．（5分）
（2）解：由（1）得62=AD（AD-9），（6分）
AD2-9AD-36=0，（7分）
AD=12，AD=-3，（舍去）
∴AD的长是12cm．（9分）
∴∠BAD=∠DAC；（1分）
又∵∠DBC=∠DAC，
∴∠DBC=∠BAD，（2分）
又∵∠BDA=∠MDB，（3分）
∴△ABD∽△BMD，
∴
| BD |
| AD |
| DM |
| BD |
∴BD2=AD•DM．（5分）
（2）解：由（1）得62=AD（AD-9），（6分）
AD2-9AD-36=0，（7分）
AD=12，AD=-3，（舍去）
∴AD的长是12cm．（9分）
点评：此题主要考查的是圆周角定理和相似三角形的性质判定和性质．
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