题目内容

【题目】如图,抛物线的图象与x轴交于A﹣1.0),B30)两点,与y轴交于点C0﹣3),顶点为D

1)求此抛物线的解析式.

2)求此抛物线顶点D的坐标和对称轴.

3)探究对称轴上是否存在一点P,使得以点PDA为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的P点的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】(1;(2D的坐标是(1﹣4),对称轴是直线x=1;(3P1)或(1)或(1)或(14).

【解析】试题分析:(1)根据抛物线的图象与x轴交于A﹣1.0),B30)两点,与y轴交于点C0﹣3),可以求得抛物线的解析式;

2)根据(1)中的解析式化为顶点式,即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴;

3)首先写出存在,然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可.

试题解析:(1抛物线的图象与x轴交于A﹣1.0),B30)两点,与y轴交于点C0﹣3),,解得: ,即此抛物线的解析式是

2=此抛物线顶点D的坐标是(1﹣4),对称轴是直线x=1

3)存在一点P,使得以点PDA为顶点的三角形是等腰三角形,设点P的坐标为(1y),分三种情况讨论:

PA=PD=,解得,y=,即点P的坐标为(1);

DA=DP时, =,解得,y=,即点P的坐标为(1)或(1);

AD=AP时, =,解得,y=±4,即点P的坐标是(14)或(1﹣4),当点P为(1﹣4)时与点D重合,故不符合题意.

由上可得,以点PDA为顶点的三角形是等腰三角形时,点P的坐标为(1)或(1)或(1)或(14).

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