题目内容
【题目】如图,边长为1的正方形ABCD中,P为对角线AC上的任意一点,分别连接PB、PD,PE⊥PB,交CD与E.
(1)求证:PE=PD;
(2)当E为CD的中点时,求AP的长;
(3)设AP=x(0<x< ),四边形BPEC的面积为y,求证:y= ( ﹣x)2 .
【答案】
(1)证明:作PG⊥BC于G,PH⊥CD于H,
∵四边形ABCD是正方形,正方形是轴对称图形,
∴PB=PD,PG=PH,∠BCD=90°,
∴四边形PGCH是矩形,
∴PG⊥PH,又PE⊥PB,
∴∠BPG=∠EPH,
在△BPG和△EPH中,
,
∴△BPG≌△EPH,
∴PB=PE,又PB=PD,
∴PE=PD
(2)解:∵四边形ABCD是轴对称图形,
∴∠BPC=∠DPC,∠GPC=∠HPC=45°,
∴∠BPG=∠DPH,又∠BPG=∠EPH,
∴∠DPH=∠EPH,又PH⊥CD,
∴DH=EH= DE= CD= ,
∴PH=HC= ,
∴PC= ,
∵正方形ABCD的边长为1,
∴AC= ,
∴AP=AC﹣PC=
(3)证明:∵AC= ,AP=x,
∴PC= ﹣x,
∵△BPG≌△EPH,
∴四边形BPEC的面积y=正方形PGCH的面积= ( ﹣x)2.
【解析】(1)证线段相等可证全等,因此需作垂线构造全等三角形;(2)求AP可转化为求PC, 可利用正方形的性质和勾股定理即可;(3)通过证出全等转化不规则四边形为规则的正方形.
【考点精析】解答此题的关键在于理解正方形的性质的相关知识,掌握正方形四个角都是直角,四条边都相等;正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;正方形的对角线与边的夹角是45o;正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.