题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系 
中，已知 
， 
两点的坐标分别为 
， 
， 
是线段 
上一点（与 ， 点不重合），抛物线 
（ 
）经过点 ， 
，顶点为 
，抛物线 
（ ）经过点 ， ，顶点为 
， 
， 
的延长线相交于点 
．
（1）若 
， 
，求抛物线 
， 
的解析式；
（2）若 
， 
，求 
的值；
（3）是否存在这样的实数 
（ ），无论 取何值，直线 
与 
都不可能互相垂直？若存在，请直接写出 的两个不同的值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：依题可得：
解得 ：
所以抛物线L1的解析式为y=-
x2-
x-2.
同理，
解得 ：
所以抛物线L2的解析式为y= -x2+
x+2.
（2）
解：如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H.
依题可得：
解得
∴抛物线L1的解析式为y=-x2+（m-4）x+4m.
∴点D的坐标为（-
,
）.
∴DG==
,AG=
.
同理可得，抛物线L2的解析式为y=-x2+（m+4）x-4m
EH=
=
，BH=
.
∵AF⊥BF，DG⊥x轴，EH⊥x轴
∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°
∴∠ADG=∠ABF=90°-∠BAF
∴△ADG∽△EBH
∴
=
.
∴
=
∴m=2
或m=-2.
（3）
解：存在，例如a=-
,a=-
.
【解析】（1）把a、m代入得到已知点，把点代入函数解析式构成方程组，根据待定系数法可求出函数解析式.
（2）如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，把a=-1代入函数解析式，然后结合（m,0）和（-4，0）代入可解出函数解析式L1 ， 然后分别求出D点坐标，得到DG,AG的长，同理得到L2;求得EH,BH的长，再根据三角形相似的判定与性质构造方程求解即可.
（3）根据前面的解答，直接写出即可.
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．
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