题目内容
如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=10，P是AD边上动点（不与A，D重合），⊙B是以B为圆心，BP为半径的一个圆．（1）如图1，若CP与⊙B相切，求AP的长；
（2）如图2，若经过点P的圆的切线与线段BC相交于点F，与DC的延长线相交于点E，设AP=x，CE=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若经过点P的⊙B切线与直线BC相交于点F，当CF=2时，求AP的长．
分析：（1）若CP与⊙B相切，则BP⊥PC，设AP=x，可分别在直角三角形ABP和PDC中表示出BP和CP的平方，然后在直角三角形BCP中，用勾股定理即可求出AP的长．（也可通过相似三角形ABP和DPC来求出AP的长）．
（2）本题可仿照（1）题的第二种思路进行求解．由于∠BPE=90°，易得出△ABP∽△DEP，那么可根据相似三角形得出的关于AB、AP、PD、DE的比例关系式求出y，x的函数关系式．（求x的取值范围时，要先求出E、C重合时，x的值，求出的这两个值之间就是x的取值范围．其实这种情况就是题（1）所求的值．）
（3）本题要分两种情况进行讨论，思路一致．
①当F在BC上时，可在直角三角形CFE中，根据CF的长和相似三角形CEF和DEP求出CE的表达式，然后代入（2）的函数关系式中，即可求出x的值．
②当F在BC延长线上时，解法与①相同．
（2）本题可仿照（1）题的第二种思路进行求解．由于∠BPE=90°，易得出△ABP∽△DEP，那么可根据相似三角形得出的关于AB、AP、PD、DE的比例关系式求出y，x的函数关系式．（求x的取值范围时，要先求出E、C重合时，x的值，求出的这两个值之间就是x的取值范围．其实这种情况就是题（1）所求的值．）
（3）本题要分两种情况进行讨论，思路一致．
①当F在BC上时，可在直角三角形CFE中，根据CF的长和相似三角形CEF和DEP求出CE的表达式，然后代入（2）的函数关系式中，即可求出x的值．
②当F在BC延长线上时，解法与①相同．
解答：解：（1）AP的长抛物线和直线的解析式；
设AP=x，则BP=
，CP=
，9+x2+9+（10-x）2=100，
解得x为1或9，则AP的长为1或9．
（2）如图2，DE=3+y，AP=x，PD=10-x；
由∠BPE=90°，易知：△ABP∽△DPE，则有
=
，即
=
，
∴y=-
x2+
x-3（1＜x＜9）．
（3）情况一：当1＜AP＜9时，AP=4±
；
情况二：当0＜AP≤1或9≤AP＜10时，AP=6-3
；
综上所述：AP的长为4±
或6-3
．
设AP=x，则BP=
| 9+x2 |
| 9+(10-x)2 |
解得x为1或9，则AP的长为1或9．
（2）如图2，DE=3+y，AP=x，PD=10-x；
由∠BPE=90°，易知：△ABP∽△DPE，则有
| AB |
| PD |
| AP |
| ED |
| 3 |
| 10-x |
| x |
| 3+y |
∴y=-
| 1 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
（3）情况一：当1＜AP＜9时，AP=4±
| 7 |
情况二：当0＜AP≤1或9≤AP＜10时，AP=6-3
| 3 |
综上所述：AP的长为4±
| 7 |
| 3 |
点评：本题主要考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识点．
根据相似三角形来得出的对应成比例线段来求解是本题的基本思路．
根据相似三角形来得出的对应成比例线段来求解是本题的基本思路．
练习册系列答案
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．
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