题目内容

【题目】如图1,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别是(0,a),(b,0),(a,﹣b)且a2+b2+4a﹣4b=﹣8,连接BC交y轴于点M,N为AC中点,连接NO并延长至D,使OD=ON,连接BD.
(1)求a,b的值;
(2)求∠DBC;
(3)如图2,Q为ON,BC的交点,连接AQ,AB,过点O作OP⊥OQ,交AB于P,过点O作OH⊥AB于H,交BQ于E,请探究线段EH,PH与OH之间有何数量关系?并证明你的结论.

【答案】解:(1)∵点A,B,C的坐标分别是(0,a),(b,0),(a,﹣b)且a2+b2+4a﹣4b=﹣8,
∴(a+2)2+(b﹣2)2=0,
∴a+2=0,b﹣2=0,
∴a=﹣2,b=2;
(2)∵A(0,﹣2),B(2,0),C(﹣2,﹣2),
∴AC∥x轴,
∵N为AC中点,
∴N(﹣1,﹣2),
∴AN=1,
∵OD=ON,
∴D和N点关于O点对称,
∴D(1,2),
设直线BD的解析式为y=k1x+b1
,解得k1=﹣2,
设直线BC的解析式为y=k2x+b2
,解得
∵k1k2=﹣1,
∴DB⊥BC,
∴∠DBC=90°;
(3)∵A(0,﹣2),B(2,0),
∴OA=OB=2,
∵OH⊥AB,
∴AH=BH,
∴H(1,﹣1),
∴直线OH:y=﹣x,OH=
∵线BC的解析式为y=x﹣1,

∴E(,﹣),
∴EH==
∵N(﹣1,﹣2),
∴直线ON:y=2x,
∵OP⊥OQ,
∴直线OP:y=﹣x,

∴P(,﹣),
∴PH==
∴OH﹣EH=2OH;
【解析】(1)把a2+b2+4a﹣4b=﹣8化成(a+2)2+(b﹣2)2=0,根据非负数的和等于0,即可求得a,b的值;
(2)根据A(0,﹣2),B(2,0),C(﹣2,﹣2),对称AC∥x轴,从而求得N的坐标,根据中心对称的性质对称D的坐标,然后根据待定系数法求得直线BD的斜率和直线BC的斜率,即可判定两条直线垂直,从而求得∠DBC=90°;
(3)分别求得E,H,P的坐标,根据勾股定理求得线段EH、OH、OH的长,即可得出线段EH,PH与OH之间的数量关系.

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