题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,AM、BN分别与⊙O相切于点A、B,CD交AM、BN于点D、C,DO平分∠ADC.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)设AD=4,AB=x (x > 0),BC=y (y > 0). 求y关于x的函数解析式.
【答案】(1)证明见解析;(2)y=x2
【解析】(1)证明:过O做OE⊥CD于点E,
则∠OED=90°
∵⊙O与AM相切于点A
∴∠OAD=90°
∵OD平分∠ADE
∴∠ADO=∠EDO
∵OD=OD
∴△OAD≌△OED
∴OE=OA
∵OA是⊙O的半径
∴OE是⊙O的半径
∴CD是⊙O的切线
(2)过点D做DF⊥BC于点F,则DF=AB=x
∵AD=4,BC=y
∴CF=BC-AD=y-4
由切线长定理可得:
∴DE=DA,CE=CB
∴CD=CE+ED
=BC+AD
=4+y
在Rt△DFC中,
∵CD2=DF2+FC2
∴(y+4)=x 2+(y-4)2
整理得:y=x2
则y关于x的函数关系式为:y=x2
解法二:连接OC,
∵CD、CB都是⊙O的切线
∴CE=CB=y
OC平分∠BCD
即:∠OCD=∠BCD
同理:DE=AD=4
∠CDO=∠CDA
∵AM、BN分别与⊙O相切
且AB为⊙O的直径
∴AM//BN
∴∠BCD+∠CDA=180°
∴∠OCD+∠CDO=90°
∵∠CDO+∠OCD+∠COD=180°
∴∠COD=90°
∵在Rt△OAD中
OD2=OA2+AD2
即OD2=()2+42
同理可得:
OC2=()2+y2
∵CD=CE+ED=y+4
∴在Rt△OCD中
CD2=OC2+OD2
即(y+4)2=()2+42+()2+y2
整理得:y=x2
则y关于x的函数关系式为:y=x2
练习册系列答案
相关题目