题目内容
如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）若AP=
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分析：（1）由正方形的性质就可以得出∠B=∠C=∠ADC=∠BAD=90°AD∥BC，就可以得出∠PAF=∠AEB，就可以得出△PFA∽△ABE；
（2）根据勾股定理可以求出AE的值及△ABE的面积，由相似三角形的性质就可以求出结论．
（2）根据勾股定理可以求出AE的值及△ABE的面积，由相似三角形的性质就可以求出结论．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠ADC=∠BAD=90°AD∥BC，AB=BC=CD=DA=4，
∴∠DAE=∠AEB．
∵PF⊥AE，
∴∠AFP=90°，
∴∠AFP=∠B
∴△PFA∽△ABE
（2）∵E是BC边的中点，
∴BE=
BC=2．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AE=2
．
∵△PFA∽△ABE，
∴
=(
)2．
∵S△ABE=
=4，
∴
=(
)2，
∴S△PFA=2．
答：△PFA的面积为2．
∴∠B=∠C=∠ADC=∠BAD=90°AD∥BC，AB=BC=CD=DA=4，
∴∠DAE=∠AEB．
∵PF⊥AE，
∴∠AFP=90°，
∴∠AFP=∠B
∴△PFA∽△ABE
（2）∵E是BC边的中点，
∴BE=
| 1 |
| 2 |
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AE=2
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∵△PFA∽△ABE，
∴
| S△PFA |
| S△ABE |
| AP |
| EA |
∵S△ABE=
| 4×2 |
| 2 |
∴
| S△PFA |
| 4 |
| ||
2
|
∴S△PFA=2．
答：△PFA的面积为2．
点评：本题考查了正方形的性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形相似是关键．
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