题目内容
【题目】如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为“神秘数”.
如：
因此，4，12，20这三个数都是神秘数.
（1）28和2012这两个数是不是神秘数？为什么？
（2）设两个连续偶数为
和
(其中
为非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数，请说明理由.
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是不是神秘数？请说明理由.
【答案】(1)28和2012是神秘数（2）
是4的倍数（3）8k不能整除8k+4
【解析】试题分析：（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
试题解析：1、28=4×7=8-6
2012=4×503=504-502
∴这两个数都是神秘数
2、 （2k+2）-（2k）
=（2k+2-2k）（2k+2+2k）
=2×[2（k+1+k）]
=4（2k+1）
∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数
3、设两个连续奇数为2k+1和2k-1，
则（2k+1）-（2k-1）
=（2k+1+2k-1）（2k+1-2k+1）
=4k×2
=8k，
∴两个连续奇数的平方差不是神秘数
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