Question

已知抛物线的顶点为（1，0），且经过点（0，1）．

（1）求该抛物线对应的函数的解析式；

（2）将该抛物线向下平移个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与轴的两个交点为B、C，若△ABC为等边三角形．

①求的值；

②设点A关于轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，使四边形CBDP为菱形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意可得，解得

∴抛物线对应的函数的解析式为．………………………………3分

（2）①将向下平移个单位得：-=，可知A(1，-)，B(1-，0)，C(1+，0)，BC=2．……………………………6分

由△ABC为等边三角形，得，由＞0，解得=3．…………7分

②不存在这样的点P．   ……………………………………………………………8分

∵点D与点A关于轴对称，∴D（1，3）．由①得BC=2．要使四边形CBDP为菱形，需DP∥BC，DP=BC．

由题意，知点P的横坐标为1+2，

当=1+2时-m==，故不存在这样的点P．……………………………………………………………………11分

【相关知识点】确定二次函数的表达式；二次函数的性质；关于轴的对称点的性质；等边三角形的性质；菱形的判定

【解题思路】二次函数的图象与性质是中考的重点与难点，因而应高度重视，本题属于综合性较强的题目，应理清思路，对每一个知识点都应熟练掌握并能灵活运用，本题求出二次函数的解析式是解此题的关键，应熟练掌握三点式和顶点式求抛物线解析式的方法；二次函数的平移通常指的是图象的平移，应注意总结平移的规律．