Question

如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=．设直线AC与直线x=4交于点E．

（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．

Answer 1

（1）略
（2）

解：（1）点C的坐标．设抛物线的函数关系式为y=a(x–4)2+m，
则，解得
∴所求抛物线的函数关系式为…………①
设直线AC的函数关系式为则，解得．
∴直线AC的函数关系式为，∴点E的坐标为
把x=4代入①式，得，∴此抛物线过E点．
（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），
过M作MG⊥x轴于G，
则S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△CBN=
=
=
∴当x=5时，S△CMN有最大值