题目内容
阅读材料并解答问题：与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，与正n边形各边都相切的圆叫做正n边形的内切圆，设正n（n≥3）边形的面积为S正n边形，其内切圆的半径为r，试探索正n边形的面积．
（1）如图1，当n=3时，设AB切⊙P于点C，连接OC，OA，OB，
∴OC⊥AB，
∴OA=OB，
∴∠AOC=
| 1 |
| 2 |
在Rt△AOC中，
∵∠AOC=
| 1 |
| 2 |
| 360° |
| 3 |
∴AC=r•tan60°，∴AB=2r•tan60°，
∴S△OAB=
| 1 |
| 2 |
∴S正三角形=3S△OAB=3r2•tan60度．
（2）如图2，当n=4时，仿照（1）中的方法和过程可求得：S正四边形=4S△OAB=
（3）如图3，当n=5时，仿照（1）中的方法和过程求S正五边形；
（4）如图4，根据以上探索过程，请直接写出S正n边形=
分析：根据正n边形倍所有的半径分割成了n个全等三角形，只需首先计算其中一个三角形的面积．根据其边心距结合锐角三角函数表示出正多边形的边长，再根据三角形的面积公式进行计算，进一步得到其正多边形的面积．
解答：
解：（2）4r2tan45°．（2分）
（3）如图，当n=5时，设AB切⊙O于点C，连接OC，OA，OB，
∴OC⊥AB，∵OA=OB，
∵∠AOC=
•
=36°，OC=r，（3分）
∴AC=r•tan36°，∴AB=2r•tan36°，（4分）
∴S△OAB=
•r•2r•tan36°=r2tan36°，（4分）
∴S正五边形=5S△OAB=5r2•tan36°．（6分）
（4）nr2tan
．（8分）
解：（2）4r2tan45°．（2分）（3）如图，当n=5时，设AB切⊙O于点C，连接OC，OA，OB，
∴OC⊥AB，∵OA=OB，
∵∠AOC=
| 1 |
| 2 |
| 360° |
| 5 |
∴AC=r•tan36°，∴AB=2r•tan36°，（4分）
∴S△OAB=
| 1 |
| 2 |
∴S正五边形=5S△OAB=5r2•tan36°．（6分）
（4）nr2tan
| 180° |
| n |
点评：能够熟练运用锐角三角函数进行求解．注意：正n边形的半边所对的角是中心角的一半，即
．
| 180° |
| n |
练习册系列答案
全能测控期末小状元系列答案
智趣暑假温故知新系列答案
相关题目
