Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，8），点B（6，8 ）．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：
①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边的距离相等．
（2）在（1）作出点P后，在x轴的正半轴上求一点M，使△POM是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）点P到A，B两点的距离相等，即作AB的垂直平分线，点P到∠xOy的两边的距离相等，即作角的平分线，两线的交点就是点P的位置．
（2）根据等腰三角形的性质，以O为圆心，OP为半径，圆与x轴的正半轴交点M，就是所求作的点．

解答：解：（1）作图如图，点P即为所求作的点；

（2）若OP=OM，
作图如图，点M即为所求作的点．
∵点P到A，B两点的距离相等，
∴PA=PB，
∵点P到∠xOy的两边的距离相等，
∴P在∠AOM的平分线上，
∴∠POF=∠OPF=45°，
∴直线EF的方程x=3，
∴0F=PF=3，
∴OP=3

2

，
∴点M的坐标为（3

2

，0）．
P的坐标为（3，3）．
若OP=PM，
则∠PMO=∠POM=45°，
∴∠OPM=90°，
∴OM=

OP

sin45°

=6，
∴M的坐标为（6，0）．
若PM=MO，
∴M的坐标为（3，0）．
∴M的坐标为（3

2

，0）或（6，0）或（3，0）．

点评：本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等和角平分线上的点到角两边的距离相等．还考查了等腰三角形的性质和坐标与图形性质，综合性强，难度较大．