Question

已知一元二次方程（1-2a）x²+2

a

x-1=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设a、β是一元二次方程的两个根，a=

3 -1

2

，求

β

α

+

α

β

的值．

Answer 1

分析：（1）求a的取值范围，可从两方面考虑：
①原方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△=b²-4ac＞0；②二次项系数不为零；
（2）根据a的值，可确定原方程；由根与系数的关系可求得α+β、αβ的值，再将所求代数式化为两根之和或两根之差的形式，然后代值求解．

解答：解：（1）由已知可得

1-2a≠0 a≥0 4a+4(1-2a)＞0

（2分）?

a≠ 1 2 a≥0 a＜1

；（3分）
∴实数a的取值范围是0≤a＜1（a≠

1

2

）；（4分）
（2）由已知及根与系数的关系可得α+β=

2 a

2a-1

，αβ=

1

2a-1

（5分）
∴

β

α

+

α

β

=

α2+β2

αβ

=

(α+β)2-2αβ

αβ

=

(α+β)2

αβ

-2（6分）
=

( 2 a 2a-1 )2

1 2a-1

-2
=

4a

2a-1

-2；（7分）
∵a=

3 -1

2

，
∴2a=

3

-1，
∴将2a=

3

-1代入，可化简得-4-2

3

．（8分）

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．