题目内容
(2013•武汉模拟)先阅读并完成第(1)题,再利用其结论解决第(2)题.
(1)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为x1,x2,则有x1+x2=-
,x1•x2=
.这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的,故把它称为“韦达定理”.利用此定理,可以不解方程就得出x1+x2和 x1•x2的值,进而求出相关的代数式的值.
请你证明这个定理.
(2)对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程x2-(n+2)x-2n2=0的两个根记作an,bn(n≥2),
请求出
+
+…+
的值.
(1)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为x1,x2,则有x1+x2=-
b |
a |
c |
a |
请你证明这个定理.
(2)对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程x2-(n+2)x-2n2=0的两个根记作an,bn(n≥2),
请求出
1 |
(a2-2)(b2-2) |
1 |
(a3-2)(b3-2) |
1 |
(a2011-2)(b2011-2) |
分析:(1)首先利用求根公式x=
求得该方程的两个实数根,然后再来求得x1+x2=-
,x1•x2=
;
(2)由根与系数的关系得an+bn=n+2,an•bn=-2n2,所以(an-2)(bn-2)=anbn-2(an+bn)+4=-2n2-2(n+2)+4=-2n(n+1),
则
=-
(
-
),然后代入即可求解.
-b±
| ||
2a |
b |
a |
c |
a |
(2)由根与系数的关系得an+bn=n+2,an•bn=-2n2,所以(an-2)(bn-2)=anbn-2(an+bn)+4=-2n2-2(n+2)+4=-2n(n+1),
则
1 |
(an-2)(bn-2) |
1 |
2 |
1 |
n |
1 |
n+1 |
解答:解:(1)根据求根公式x=
知,
x1=
,x2=
,
故有x1+x2=
+
=-
,x1•x2=
×
=
;
(2)∵根与系数的关系知,an+bn=n+2,an•bn=-2n2,
∴(an-2)(bn-2)=anbn-2(an+bn)+4=-2n2-2(n+2)+4=-2n(n+1),
∴
=-
(
-
),
∴
+
+…+
=-
[(
-
)+(
-
)+…+(
-
)]
=-
×(
-
)
=-
.
-b±
| ||
2a |
x1=
-b+
| ||
2a |
-b-
| ||
2a |
故有x1+x2=
-b+
| ||
2a |
-b-
| ||
2a |
b |
a |
-b+
| ||
2a |
-b-
| ||
2a |
c |
a |
(2)∵根与系数的关系知,an+bn=n+2,an•bn=-2n2,
∴(an-2)(bn-2)=anbn-2(an+bn)+4=-2n2-2(n+2)+4=-2n(n+1),
∴
1 |
(an-2)(bn-2) |
1 |
2 |
1 |
n |
1 |
n+1 |
∴
1 |
(a2-2)(b2-2) |
1 |
(a3-2)(b3-2) |
1 |
(a2011-2)(b2011-2) |
=-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
2010 |
1 |
2011 |
=-
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2011 |
=-
2019 |
8044 |
点评:本题考查了根与系数的关系.在证明韦达定理时,借用了求根公式x=
.
-b±
| ||
2a |
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