题目内容

(2013•武汉模拟)先阅读并完成第(1)题,再利用其结论解决第(2)题.
(1)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为x1,x2,则有x1+x2=-
b
a
,x1•x2=
c
a
.这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的,故把它称为“韦达定理”.利用此定理,可以不解方程就得出x1+x2和 x1•x2的值,进而求出相关的代数式的值.
请你证明这个定理.
(2)对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程x2-(n+2)x-2n2=0的两个根记作an,bn(n≥2),
请求出
1
(a2-2)(b2-2)
+
1
(a3-2)(b3-2)
+…+
1
(a2011-2)(b2011-2)
的值.
分析:(1)首先利用求根公式x=
-b±
b2-4ac
2a
求得该方程的两个实数根,然后再来求得x1+x2=-
b
a
,x1•x2=
c
a

(2)由根与系数的关系得an+bn=n+2,an•bn=-2n2,所以(an-2)(bn-2)=anbn-2(an+bn)+4=-2n2-2(n+2)+4=-2n(n+1),
1
(an-2)(bn-2)
=-
1
2
1
n
-
1
n+1
),然后代入即可求解.
解答:解:(1)根据求根公式x=
-b±
b2-4ac
2a
知,
x1=
-b+
b2-4ac
2a
,x2=
-b-
b2-4ac
2a

故有x1+x2=
-b+
b2-4ac
2a
+
-b-
b2-4ac
2a
=-
b
a
,x1•x2=
-b+
b2-4ac
2a
×
-b-
b2-4ac
2a
=
c
a


(2)∵根与系数的关系知,an+bn=n+2,an•bn=-2n2
∴(an-2)(bn-2)=anbn-2(an+bn)+4=-2n2-2(n+2)+4=-2n(n+1),
1
(an-2)(bn-2)
=-
1
2
1
n
-
1
n+1
),
1
(a2-2)(b2-2)
+
1
(a3-2)(b3-2)
+…+
1
(a2011-2)(b2011-2)

=-
1
2
[(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+(
1
2010
-
1
2011
)]
=-
1
2
×(
1
2
-
1
2011

=-
2019
8044
点评:本题考查了根与系数的关系.在证明韦达定理时,借用了求根公式x=
-b±
b2-4ac
2a
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