Question

有n个数，第一记为a₁，第二个记为a₂，…，第n个记为a_n，若a₁=

1

2

，且从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）根据（1）的计算结果，请猜想并写出a₂₀₀₄，a₂₀₀₅，a₂₀₀₆的值．
（3）计算：a₁•a₂•a₃…a₂₀₀₄•a₂₀₀₅•a₂₀₀₆．

Answer 1

分析：（1）根据从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”进行计算，分别求出a₂，a₃，a₄；
（2）根据（1）的计算结果得出规律：每3个数为一个循环，而求出a₂₀₀₄，a₂₀₀₅，a₂₀₀₆的值；
（3）通过计算出a₁•a₂•a₃的值为-1，结合（1）得出的规律计算出要求的值．

解答：解：（1）由从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”得：
a₂=1÷（1-

1

2

）=2，
a₃=1÷（1-2）=-1，
a₄=1÷（1+1）=

1

2

，

（2）由（1）得出的结果得：每3个数为一个循环，
2004÷3=668，
∴a₂₀₀₄=a₃=-1，
则a₂₀₀₅=a₁=

1

2

，
a₂₀₀₆=a₂=2；

（3）∵a₁•a₂•a₃=

1

2

×2×（-1）=-1，
∴每一个循环的3个数的积为-1，
而2006÷3=668余2，
∴a₁•a₂•a₃…a₂₀₀₄•a₂₀₀₅•a₂₀₀₆等于68个（-1）的积×

1

2

×2，
即1×

1

2

×2=1，
∴a₁•a₂•a₃…a₂₀₀₄•a₂₀₀₅•a₂₀₀₆=1．

点评：此题考查的知识点是数字的变化类问题，关键是通过计算得出规律，然后按规律求解．