Question

有n个数，第一个记为a₁，第二个记为a₂；…，第n个记为a_n，若 a₁=

1

2

，且从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”．
（1）则a₂=

2

；a₃=

-1

；a₄=

1

2

．
（2）根据（1）的计算结果，猜想a₂₀₀₅=

1

2

；a₂₀₀₆=

2

；
（3）计算：a₁•a₂•a₃…a₂₀₀₅•a₂₀₀₆的值．

Answer 1

分析：（1）根据倒数的定义得到a₂=

1

1- 1 2

=2；  a₃=

1

1-2

=-1；a₄=

1

1-(-1)

=

1

2

；
（2）根据（1）中计算结果发现从第四个开始循环出现前面的三个数，由于2005=3×668+1，则a₂₀₀₅=a₁，a₂₀₀₆=a₂；
（3）根据数列的规律得到a₁•a₂•a₃…a₂₀₀₅•a₂₀₀₆=

1

2

×2×（-1）×

1

2

×2×（-1）×…×

1

2

×2，从开始每三个数一组共有668组，外加后面

1

2

×2，
由于每组数的积为-1，由此得到a₁•a₂•a₃…a₂₀₀₅•a₂₀₀₆=1．

解答：解：（1）a₂=

1

1- 1 2

=2；  a₃=

1

1-2

=-1；a₄=

1

1-(-1)

=

1

2

；
（2）∵2005=3×668+1，
∴a₂₀₀₅=a₁=

1

2

；a₂₀₀₆=a₂=2；
（3）a₁•a₂•a₃…a₂₀₀₅•a₂₀₀₆=

1

2

×2×（-1）×

1

2

×2×（-1）×…×

1

2

×2=

(-1)×…×(-1)

668个-1相乘

×1=1．
故答案为2，-1，

1

2

；

1

2

，2．

点评：本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．