题目内容
【题目】如图,正方形ABCD中,点E、F分别是BC、CD边上的点,且∠EAF=45°,对角线BD交AE于点M,交AF于点N.若AB=4,BM=2,则MN的长为_______.
【答案】
【解析】如图,延长BC到G,使BG=DF连接AG,在AG截取AH=AN,连接MH、BH,如图所示:
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠4=∠5=45°,∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°,
在RT△ABG和RT△ADF中,
∴Rt△ABG≌Rt△ADF(SAS),
∴∠1=∠2,∠7=∠G,AF=AG,
∴∠GAE=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF,
在△AMN和△AMH中,
∴△AMN≌△AMH(SAS),
∴MN=MH,
∵AF=AG,AN=AH,
∴FN=AF-AN=AG-AH=GH,
在△DFN和△BFH中,
∴△DFN≌△BGH(SAS),
∴∠6=∠4=45°,DN=BH,
∴∠MBH=∠ABH+∠5=∠ANG-∠6+∠5=90°-45°+45°=90°
∴BM2+DN2=BM2+BH2=MH2=MN2,
∵BD= =8,
∴22+(8-2-MN)2=MN2,
∴MN= ;
故答案是。
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