题目内容

【题目】如图,正方形ABCD中,点E、F分别是BC、CD边上的点,且∠EAF=45°,对角线BD交AE于点M,交AF于点N.若AB=4,BM=2,则MN的长为_______

【答案】

【解析】如图,延长BC到G,使BG=DF连接AG,在AG截取AH=AN,连接MH、BH,如图所示:

四边形ABCD为正方形,
AB=BC=CD=AD4=5=45°BAD=ADF=ABE=ABG=90°
RTABGRTADF中,

RtABGRtADFSAS),
∴∠1=27=GAF=AG
∴∠GAE=2+3=1+3=BAD-EAF=90°-45°=45°=EAF
AMNAMH中,

∴△AMN≌△AMHSAS),
MN=MH
AF=AGAN=AH
FN=AF-AN=AG-AH=GH
DFNBFH中,

∴△DFN≌△BGHSAS),
∴∠6=4=45°DN=BH
∴∠MBH=ABH+5=ANG-6+5=90°-45°+45°=90°
BM2+DN2=BM2+BH2=MH2=MN2

∵BD= =8,

∴22+(8-2-MN)2=MN2,

∴MN=

故答案是

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