Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°．

（1）求证：直线AC是圆O的切线；
（2）如果∠ACB=75°，圆O的半径为2，求BD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵OD=OC，∠DOC=90°，

∴∠ODC=∠OCD=45°．

∵∠DOC=2∠ACD=90°，

∴∠ACD=45°．

∴∠ACD+∠OCD=∠OCA=90°．

∵点C在圆O上，

∴直线AC是圆O的切线

（2）解：方法1：∵OD=OC=2，∠DOC=90°，

∴CD=2 ．

∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，

∴∠BCD=30°，

作DE⊥BC于点E，

则∠DEC=90°，

∴DE=DCsin30°= ．

∵∠B=45°，

∴DB=2．

方法2：连接BO

∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，

∴∠BCD=30°，∴∠BOD=60°

∵OD=OB=2

∴△BOD是等边三角形

∴BD=OD=2．

【解析】（1）由题意可知△DOC为等腰直角三角形，故此可得到∠DCO=45°，然后依据题意可求得∠ACD=45°，从而得到∠OCA=90°；
（2）连接OB，先求得∠BCO=15°，故此可得到∠BCD=30，然后依据圆周角定理可得到∠DOB=60，从而可证明△BOD为等边三角形.
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的判定定理的相关知识，掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．