Question

古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10 …，这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…，这样的数称为“正方形数”．
（1）第5个三角形数是　　，第n个“三角形数”是　　，第5个“正方形数”是　　，第n个正方形数是　  ；
（2）经探究我们发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．
例如：①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10，④　     　，⑤　  　，…．
请写出上面第4个和第5个等式；
（3）在（2）中，请探究第n个等式，并证明你的结论．

Answer 1

（1）15，，25，n²；
（2）25=10+15，36=15+21；
（3）见解析

（1）观察发现，第5个三角形数等于第4个三角形数加上5，即为15，第n个“三角形数”等于第（n﹣1）个“三角形数”加上n，即为1+2+3+…+n，计算即可；第5个“正方形数”是5²，第n个正方形数是n²；
（2）根据①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10即可得出第4个等式为第5个三角形数等于第4个三角形数加上第5个三角形数，第5个等式为第6个三角形数等于第5个三角形数加上第6个三角形数；
（3）第n个等式为第（n+1）个“三角形数”等于第n个“三角形数”加上第（n+1）个“三角形数”．
解：（1）15，，25，n²；
（2）25=10+15，36=15+21；
（3），
∵右边=
=
=n²+2n+1=（n+1）²=左边，
∴原等式成立．
故答案为15，，25，n²；25=10+15，36=15+21．