题目内容

【题目】如图,在 ABCD中,∠DAB=60°,点E,F分别在CD,AB的延长线上,且AE=AD,CF=CB.

(1)求证:四边形AFCE是平行四边形.

(2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°,上述的结论还成立吗 ”若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.

【答案】(1)证明见解析(2)成立

【解析】(1)由已知条件可得△AED,△CFB是正三角形,可得∠AEC=∠BFC=60°,∠EAF=∠FCE=120°,所以四边形AFCE是平行四边形.

(2)上述结论还成立,可以证明△ADE≌△CBF,可得∠AEC=∠BFC,∠EAF=∠FCE,所以四边形AFCE是平行四边形.

解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴DC∥AB,∠DCB=∠DAB=60°.

∴∠ADE=∠CBF=60°.

∵AE=AD,CF=CB,

∴△AED,△CFB是正三角形.

∴∠AEC=∠BFC=60°,∠EAF=∠FCE=120°.

∴四边形AFCE是平行四边形.

(2)解:上述结论还成立.

证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴DC∥AB,∠CDA=∠CBA,∠DCB=∠DAB,AD=BC,DC=AB.

∴∠ADE=∠CBF.

∵AE=AD,CF=CB,

∴∠AED=∠ADE,∠CFB=∠CBF.

∴∠AED=∠CFB.

又∵AD=BC,

在△ADE和△CBF中.

∠ADE=∠CBF,∠AED=∠CFB,AD=BC,

∴△ADE≌△CBF(AAS).

∴∠AED=∠BFC,∠EAD=∠FCB.

又∵∠DAB=∠BCD,

∴∠EAF=∠FCE.

∴四边形EAFC是平行四边形.

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