题目内容
【题目】已知：如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t(s)
解答下列各问题：
(1)求△ABC的面积
(2)当t为何值时，△PBQ是直角三角形?
(3)设四边形APQC的面积为y(cm2)，求y与t的关系式；
(4)是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二?如果存在，求出t的值：不存在请说明理由
【答案】（1）
；（2）t=2或4；（3）
，（4）不存在．
【解析】
（1）过点A作AD⊥BC，求出AD的长，利用三角形的面积公式进行解答即可；
（2）①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
（3）本题可先用△ABC的面积-△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，即可得出y，t的函数关系式；
（4）根据四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二，可得出一个关于t的方程，如果方程无解则说明不存在这样的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可．
解：（1）过点A作AD⊥BC，则S△ABC=
×BC×ABsin60°=×6×6×
=；
（2）设经过t秒△PBQ是直角三角形，
则AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（6-t）cm，
△PBQ中，BP=（6-t）cm，BQ=tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=BP，
即t=（6-t），t=2（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=BQ，
6-t=t，t=4（秒），
答：当t=2秒或t=4秒时，△PBQ是直角三角形．
（3）过P作PM⊥BC于M，
△BPM中，sin∠B=
，
∴PM=PBsin∠B=（6-t），
∴S△PBQ=BQPM=t（6-t），
∴y=S△ABC-S△PBQ=-×t×（6-t）
=
，
∴y与t的关系式为y=，
（4）假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二，
则S四边形APQC=
S△ABC，
∴
，
∴t2-6t+12=0，
∵=36-48=-12<0，
∴不存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二．
