题目内容
【题目】已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式;
（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形;
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）
解：∵二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），
∴根据题意，得
，
解得
，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）
解：由y=﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），
∴CD=
=
，
BC=
=3，
BD=
=2
，
∵CD2+BC2=（）2+（3）2=20，BD2=（2）2=20，
∴CD2+BC2=BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）
解：存在．
y=﹣x2+2x+3对称轴为直线x=1．
①若以CD为底边，则P1D=P1C，
设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2=x2+（3﹣y）2，P1D2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，
因此2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，
即y=4﹣x．
又P1点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x=﹣x2+2x+3，
即x2﹣3x+1=0，
解得x1=
，x2=
＜1，应舍去，
∴x=，
∴y=4﹣x=
，
即点P1坐标为（，）．
②若以CD为一腰，
∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x=1对称，
此时点P2坐标为（2，3）．
∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．
【解析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入二次函数y=ax2+bx﹣3a求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；
（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
（3）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
