Question

提出问题：如图①,在四边形ABCD中,点E、F是AD的n等分点中最中间2个,点G、H是BC的n等分点中最中间2个,（其中n为奇数）,连接EG、FH,那么S_{四边形EFHG}与S_{四边形ABCD}之间有什么关系呢？
                                         
探究发现：为了解决这个问题,我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
(1)如图②：四边形ABCD中,点E、F是AD的3等分点,点G、H是BC的3等分点,连接EG、FH,那么S_{四边形EFHG}与S_{四边形ABCD}之间有什么关系呢？
如图③,连接EH、BE、DH,

因为△EGH与△EBH高相等,底的比是1:2,
所以S_△EGH=S_△EBH
因为△EFH与△DEH高相等,底的比是1:2,
所以S_△EFH=S_△DEH
所以S_△EGH+S_△EFH=S_△EBH +S_△DEH
即S_{四边形EFHG}=S_{四边形EBHD}
连接BD,
因为△DBE与△ABD高相等,底的比是2：3,
所以S_△DBE=S_△ABD
因为△BDH与△BCD高相等,底的比是2：3,
所以S_△BDH=S_△BCD
所以S_△DBE +S_△BDH=S_△ABD+S_△BCD =(S_△ABD+S_△BCD)
=S_{四边形ABCD}
即S_{四边形EBHD}=S_{四边形ABCD}
所以S_{四边形EFHG}=S_{四边形EBHD}=×S_{四边形ABCD}=S_{四边形ABCD}
（1）如图④：四边形ABCD中,点E、F是AD的5等分点中最中间2个,点G、H是BC的5等分点中最中间2个,连接EG、FH,猜想：S_{四边形EFHG}与S_{四边形ABCD}之间有什么关系呢                       
验证你的猜想：

（2）问题解决：如图①,在四边形ABCD中,点E、F是AD的n等分点中最中间2个,点G、H是BC的n等分点中最中间2个,连接EG、FH,（其中n为奇数）
那么S_{四边形EFHG}与S_{四边形ABCD}之间的关系为：                            （不必写出求解过程）

Answer 1

（1）S_{四边形EFHG}=S_{四边形ABCD,}证明见解析；
（2）S_{四边形EFHG}=S_{四边形ABCD}．

试题分析：仿照上面的探究思路,类比求解．
试题解析：（1）四边形ABCD中,点E、F是AD的5等分点中最中间2个,点G、H是BC的5等分点中最中间2个,连接EG、FH,S_{四边形EFHG}=S_{四边形ABCD,}
如图④：连接EH、BE、DH,

因为△EGH与△EBH高相等,底的比是1:3,
所以S_△EGH=S_△EBH
因为△EFH与△DEH高相等,底的比是1:3,
所以S_△EFH=S_△DEH
所以S_△EGH+S_△EFH=S_△EBH +S_△DEH
即S_{四边形EFHG}=S_{四边形EBHD}
连接BD,
因为△DBE与△ABD高相等,底的比是3：5,
所以S_△DBE=S_△ABD
因为△BDH与△BCD高相等,底的比是3：5,
所以S_△BDH=S_△BCD
所以S_△DBE +S_△BDH=S_△ABD+S_△BCD = (S_△ABD+S_△BCD)
=S_{四边形ABCD}
即S_{四边形EBHD}=S_{四边形ABCD}
所以S_{四边形EFHG}=S_{四边形EBHD}=×S_{四边形ABCD}=S_{四边形ABCD}．
（2）在四边形ABCD中,点E、F是AD的n等分点中最中间2个,点G、H是BC的n等分点中最中间2个,连接EG、FH,（其中n为奇数）那么S_{四边形EFHG}=S_{四边形ABCD}．