题目内容

提出问题:如图①,在四边形ABCD中,点E、F是AD的n等分点中最中间2个,点G、H是BC的n等分点中最中间2个,(其中n为奇数),连接EG、FH,那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢?
                                         
探究发现:为了解决这个问题,我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手:
(1)如图②:四边形ABCD中,点E、F是AD的3等分点,点G、H是BC的3等分点,连接EG、FH,那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢?
如图③,连接EH、BE、DH,

因为△EGH与△EBH高相等,底的比是1:2,
所以SEGH=SEBH
因为△EFH与△DEH高相等,底的比是1:2,
所以SEFH=SDEH
所以SEGH+SEFH=SEBH +SDEH
即S四边形EFHG=S四边形EBHD
连接BD,
因为△DBE与△ABD高相等,底的比是2:3,
所以SDBE=SABD
因为△BDH与△BCD高相等,底的比是2:3,
所以SBDH=SBCD
所以SDBE +SBDH=SABD+SBCD =(SABD+SBCD)
=S四边形ABCD
即S四边形EBHD=S四边形ABCD
所以S四边形EFHG=S四边形EBHD=×S四边形ABCD=S四边形ABCD
(1)如图④:四边形ABCD中,点E、F是AD的5等分点中最中间2个,点G、H是BC的5等分点中最中间2个,连接EG、FH,猜想:S四边形EFHG与S四边形ABCD之间有什么关系呢                       
验证你的猜想:

(2)问题解决:如图①,在四边形ABCD中,点E、F是AD的n等分点中最中间2个,点G、H是BC的n等分点中最中间2个,连接EG、FH,(其中n为奇数)
那么S四边形EFHG与S四边形ABCD之间的关系为:                            (不必写出求解过程)
(1)S四边形EFHG=S四边形ABCD,证明见解析;
(2)S四边形EFHG=S四边形ABCD

试题分析:仿照上面的探究思路,类比求解.
试题解析:(1)四边形ABCD中,点E、F是AD的5等分点中最中间2个,点G、H是BC的5等分点中最中间2个,连接EG、FH,S四边形EFHG=S四边形ABCD,
如图④:连接EH、BE、DH,

因为△EGH与△EBH高相等,底的比是1:3,
所以SEGH=SEBH
因为△EFH与△DEH高相等,底的比是1:3,
所以SEFH=SDEH
所以SEGH+SEFH=SEBH +SDEH
即S四边形EFHG=S四边形EBHD
连接BD,
因为△DBE与△ABD高相等,底的比是3:5,
所以SDBE=SABD
因为△BDH与△BCD高相等,底的比是3:5,
所以SBDH=SBCD
所以SDBE +SBDH=SABD+SBCD = (SABD+SBCD)
=S四边形ABCD
即S四边形EBHD=S四边形ABCD
所以S四边形EFHG=S四边形EBHD=×S四边形ABCD=S四边形ABCD
(2)在四边形ABCD中,点E、F是AD的n等分点中最中间2个,点G、H是BC的n等分点中最中间2个,连接EG、FH,(其中n为奇数)那么S四边形EFHG=S四边形ABCD
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