题目内容
【题目】如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝﹣
在第二象限内的图象相交于点A，与x轴的负半轴交于点B，与y轴的负半轴交于点C．
（1）求∠BCO的度数；
（2）若y轴上一点M的纵坐标是4，且AM＝BM，求点A的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点P在y轴上，点Q是平面直角坐标系中的一点，当以点A、M、P、Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）∠BCO＝45°；（2）A(﹣4，1)；（3）点Q坐标为(﹣4，﹣4)或(﹣4，6)或(﹣4，
)或(4，1)．
【解析】
（1）证明△OBC是等腰直角三角形即可解决问题；
（2）如图1中，作MN⊥AB于N．根据一次函数求出交点N的坐标，用b表示点A坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（3）分两种情形：①当菱形以AM为边时，②当AM为菱形的对角线时，分别求解即可．
（1）∵一次函数y＝﹣x+b的图象交x轴于B，交y轴于C，则B(b，0)，C（0，b），
∴OB＝OC＝﹣b，
∵∠BOC＝90°
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°．
（2）如图1中，作MN⊥AB于N，
∵M（0，4），MN⊥AC，直线AC的解析式为：y＝﹣x+b，
∴直线MN的解析式为：y＝x+4，
联立
，解得：
，
∴N(
，
)，
∵MA＝MB，MN⊥AB，
∴NA＝BN，设A(m，n)，
则有
，解得：
，
∴A(﹣4，b+4)，
∵点A在y＝﹣
上，
∴﹣4（b+4）＝﹣4，
∴b＝﹣3，
∴A（﹣4，1）；
（3）如图2中，
由（2）可知A(﹣4，1)，M(0，4)，
∴AM＝
＝5，
当菱形以AM为边时，AQ＝AQ′＝5，AQ∥OM，可得Q(﹣4，﹣4)，Q′(﹣4，6)，
当A，Q关于y轴对称时，也满足条件，此时Q(4，1)，
当AM为菱形的对角线时，设P″(0，b)，
则有（4﹣b）2＝42+（b﹣1）2，
∴b＝﹣
．
∴AQ″＝MP″＝
，
∴Q″(﹣4，)，
综上所述，满足条件的点Q坐标为(﹣4，﹣4)或(﹣4，6)或(﹣4，)或(4，1)．
