题目内容

请阅读下列材料:
问题:如图(2),一圆柱的高AB=5dm,底面半径为5dm,BC是底面直径,求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线:
路线1:沿侧面展开图中的线段AC.如下图(2)所示:
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设路线1的长度为l1,则l12=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2
路线2:高线AB+底面直径BC.如上图(1)所示:
设路线2的长度为l2,则l22=(AB+BC)2=(5+10)2=225
∵l12-l22=25+25π2-225=25π2-200=25(π2-8)>0
∴l12>l22,∴l1>l2
所以要选择路线2较短.
(1)小明对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成:“圆柱的底面半径为1dm,高AB仍为5dm”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算:
路线1:l12=AC2=AB2+BC2=
 

路线2:l22=(AB+BC)2=
 

∵l12
 
l22,∴l1
 
l2( 填>或<)
所以应选择路线
 
(填1或2)较短.
(2)请你帮小明继续研究:设圆柱的底面半径为r,高为h,当蚂蚁走上述两条路线的路程出现相等情况时,求出此时h与r的比值(本小题π的值取3).
分析:(1)根据勾股定理易得路线1:l12=AC2=高2+底面周长一半2;路线2:l22=(高+底面直径)2;让两个平方比较,平方大的,底数就大.
(2)根据(1)得到的结论让l12-l22=0进行计算即可.
解答:解:(1)路线1:l12=AC2=25+π2(dm2).
路线2:l22=(AB+BC)2=49(dm2).
∵l12<l22
∴l1<l2(填>或<),
∴选择路线1(填1或2)较短.(5分)

(2)l12=AC2=AB2+BC2=h2+(πr)2
l22=(AB+BC)2=(h+2r)2
l12-l22=h2+(πr)2-(h+2r)2=r(π2r-4r-4h)=r[(π2-4)r-4h];
r恒大于0,只需看后面的式子即可.(2分)
r=
4h
π2-4

即h:r=5:4时,l12=l22
点评:本题考查了平面展开-最短路径问题,比较两个数的大小,有时比较两个数的平方比较简便,比较两个数的平方,通常让这两个数的平方相减.注意运用类比的方法做类型题.
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