Question

我们知道：1³=1=

1

4

×1²×2²，1³+2³=9=

1

4

×2²×3²，
1³+2³+3³=36=

1

4

×3²×4²，1³+2³+3³+4³=100=

1

4

×4²×5²…
（1）猜想：1³+2³+3³+…+（n-1）³+n³=

1

4

×

n

²×

（n+1）

²．
（2）计算：1³+2³+3³+…+10³．

Answer 1

分析：（1）观察不难发现，从1开始的连续自然数的立方和等于自然数的个数的平方乘比个数大1的数的平方，再除以4；
（2）根据（1）的公式计算即可得解．

解答：解：（1）∵1³=1=

1

4

×1²×2²，
1³+2³=9=

1

4

×2²×3²，
1³+2³+3³=36=

1

4

×3²×4²，
1³+2³+3³+4³=100=

1

4

×4²×5²…，
∴1³+2³+3³+…+（n-1）³+n³=

1

4

×n²×（n+1）²；

（2）1³+2³+3³+…+10³
=

1

4

×10²×11²
=3025．
故答案为：n，（n+1）．

点评：本题是对数字变化规律的考查，观察出平方的底数与立方的数的个数的关系是解题的关键．